基礎統計 レポート(3)
確率 II

解答

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* 前回 [6], [7], [8] 持ちこし分を今回提出

1 6 人の男性、4 人の女性から成るグループから 5 人の委員をくじ引きで選出するとき、5 人の性別構成の可能なすべてのケースにつき、その生起確率を求めなさい。最大の確率はどのケースか。

超幾何分布の直接適用。男性 = 3, 女性 = 2 で最大。

2 セールスマンは各戸を訪問して製品を売り込んでいる。その購入確率は p = 0.1 であるという。平均何回目の訪問で最初の 1 個が売れるか。また 10 回目までに最初の 1 個が売れる確率を求めなさい。

p = 0.1 の幾何分布。E(X) = 1/p = 10。初項 = p, 公比 = p の等比数列の第 10 項までの和の計算が必要。

3 確率変数 X は 0 ≦ X ≦ 1の範囲にあり、密度関数は f (x) = cx(c は定数)である。
  i) c を求めなさい。
  ii) x(0≦x≦1)に対し、P(X≦x)を求めなさい。
  iii) P(X2≦0.01)を求めなさい。
  iv)* E (X), V (X) を求めなさい。
     【ヒント】 i) 〜iii) は 面積の計算となる。 iv) は文科系は optional。

i) 三角形の面積。c = 2 で [0,1] 上での積分 = 1 となる。
ii) [0, x] 上での積分。三角形だから、x・2x・(1/2)。
iii) X≦0.1 の確率だから上記。
iv) 定義通り。E(X^2) 計算が必要。

4 確率変数 X は、ある個人商店の 1 週間の売上高(万円)であり、経験から
      E (X)=100, V (X)=82
である。 このとき、確率
      P(80≦X≦120 )
に対して何がいえるか。

正規分布の仮定がないから、チェビシェフの不等式を適用。

5 救急病院は A 町、B 町を管轄区域とし 4 台の収容ベッドがある。A, B 町から収容される交通事故救急患者は、それぞれ λ1 = 2, λ2 = 1 のポアソン分布に従っている。病院収容患者が 4 人を越える確率を求めなさい。

λ = 3 のポアソン分布で、1, 2, 3, 4 の確率の和を計算し 1 から引く。

6 次の二次元確率分布に対し
      E (X), E (Y), V (X), V (Y),  E (X + Y), E (XY),
      V (X + Y), Cov (X, Y), ρXY
を求めなさい:
      Ρ (X = 0, Y = 0) = 1/10  Ρ (X = 0, Y = 1) = 3/10
      Ρ (X = 1, Y = 0) = 4/10  Ρ (X = 1, Y = 1) = 2/10

型どおり。E(X) = 3/5, E(Y) = 1/2, E(XY) = 1/5。Cov はこれからすぐ。E(X^2) = 3/5 などから V(X) も。X+Y, XY の確率分布を作るのも一法。

7 5 つのさいころを投げたとき、その目の和 Z が 20 を越える確率を求めなさい。近似値でよい。

1 つなら E(X) = 7/2, V(X) = 35/12。5 つの和だから、中心極限定理から近似的分布は正規分布 N(5・(7/2), 5・(35/12)) と出る。

8 ある粒子は一次元の直線上を 1 秒間に 1 単位ずつ、右(+1)に確率 0.6, 左(-1)へ 0.4 で進む。原点から出発した粒子の 1 分後の位置を Z とするとき、Z≧15 となる確率を求めなさい。

E(X) = 1・(0.6) + (-1)・(0.4) = 0.2, V(X) = 1^2・(0.6) + (-1)^2・(0.4) - (0.2)^2 n = 60 だから中心極限定理(前題と同様)。

9* 基礎統計特別講義について報告して下さい。
     i) 授業としては、講義でしたが、「講演」を聴いたとの想定で、書いて下さい。
     ii) 含むべき事項: 講演内容の要約(2, 3 割)、特に関心を引いた部分(5 割)
                 批評(賛否、批判、補論など)
         【例】 CO2 の年次変化の研究。移動平均、回帰直線など。(データは HP)
     iii) 字数の制限はありません。
     iv) 締め切りは出題から 2 週間.。
     v)  レポートとしては、別個表紙を下記のように付けて下さい。

 

 

基礎統計特別講演
「地球温暖化対策と循環型社会の形成」
田村泰一氏(文部科学省)

聴講報告・批評

評者
○○○○

 

 

(以下通常レポートと同じ)


確率の基礎と発展(参考) => こちら