モンモールの一致の問題

問題

• n 人への手紙を書き、さらにその封筒を書いた。子供に手伝わせて手紙と封筒を組み合わせるとき、正しい組み合わせがわからず、ランダムに組み合わせるものとする。手紙と封筒の正しい合致（「一致」という）が全く起こらない確率を求めなさい。
• あるテニスクラブには n 組の夫婦が加入している。混合ダブルス（男性 ・女性のペア間で試合をする）の大会のためにランダムにペアを作るとき、どのペアも夫婦ではない（「一致」が起こらない）確率を求めなさい。

解答

2 題は共通の解答となる。少なくとも 1 カ所で「一致」が起こる確率は
　　　　　1- (1/2 !) + 1/3 ! - (1/4 !) + ・・・ ± （１/n !）　　（ - ：n 偶数のとき, + ：n 奇数のとき）
n が大なら、n によらずほぼ一定値 1/e = 0.368 となる（e は「自然対数の底」で 2.71828・・・）。
問題の解答は 1 からこれらを引き、 n が大なら、n によらずほぼ0.632（63.2%）。