2001 年度 計量社会科学 試験

松原望教官

2001 年 7 月 31 日実施 90 分

持込可 テキスト、副読本、自筆ノート、電卓（および簡易なマニュアル）持込不可 自筆でないノート（コピーは自筆でないと推定）

6 題 選 択 の こ と選択した問題番号を解答用紙の最上行に書くこと

[1] n 人の個人 {1, 2, …, n} から成る社会について、「独裁者が存在する」ことを、述語論理学の命題として記述しなさい。必要な記号については定義を与えること。

[2] (i) 利得行列 (a) で与えられる 2 人ゼロ和ゲームの最適混合戦略を求めなさい。 (ii) 利得行列 (b) で与えられる 2 人非零和ゲームにおいて、結果を予想し、その理由をゲーム

理論の基本用語を用いて述べなさい。

(a) ( \begin{matrix}9 & −1 \\ 5 & 10 \end{matrix} )  (b) ( \begin{matrix}(4, 3) & (−2, −1) \\ (−1, −2) & (3, 2) \end{matrix} )

[3] 3 人 {A, B, C} である案を決定したい。決定は多数決とするが A は拒否権を有する（A が賛成しない場合は可決されない）とする。賛成の提携のパターン（たとえば賛成は {A, C} など） 8 通りそれぞれにつき、可決なら 1、否決なら 0 の価値を与えるものとする。

(i) この価値を特性関数 v として、各提携ごとに v の値を表にしなさい。 (ii) A, B, C の各シャプレー値を求めなさい（「シャプレー・シュービックの権力指数」という）。 (注) 要素数の変化 3 → 2, 2 → 1, 1 → 0 に対して各 1/3, 1/6, 1/3 のウェイト。

[4] 連立微分方程式

dx/dt = ax + by,
dy/dt = cx + dy

で記述される動的システムは、 a + d > 0 のとき、 b, c のいかんにかかわらず t → ∞ に対する安定解をもたないことを示しなさい。

［ヒント］解と係数の関係

[5] 2 証券ポートフォリオの最小（最適）分散が、各証券の分散のいずれよりも小さくなるための必要十分条件を、各分散、共分散（あるいは相関係数）を用いて述べなさい。 [6] 下図のように気体が箱の左側に仕切りでとじこめられている。時間 t = 0 に仕切りがとら

れたとすると、それ以後気体の分子は左側 (a_{1})，右側 (a_{2}) のどちらかにある。 2 状態の集合 {a_{1}, a_{2}} のそれぞれの確率 (p, 1 − p) に対し、エントロピー H は時間的に (i) t = 0， (ii) t が有限， (iii) t = ∞，に応じて徐々に変化する。

このモデルを用いて、自然環境の変化はほとんどエントロピーの増大する方向にのみ起る（エントロピー増大の原理、熱力学第二法則）ことを説明しなさい。

[7] 2 つの生産物 X, Y の生産が、 2 種の資源（原料） A, B をそれぞれ単位生産量当り 2, 5 および 3, 2 ずつ使用して行われている。資源 A, B の初期所与はそれぞれ 40, 30 とし、さらに X, Y の市場価格はある通貨単位で各 6, 8 である。効率的な生産量 x, y，およびその場合における資源のシャドウ価格を求めなさい。

[8] 投入産出係数行列

A = ( \begin{matrix}0.1 & 0.1 \\ 0.4 & 0.5 \end{matrix} )

の「レオンチェフ逆行列」から、経済全体で最終需要が各 1 単位ずつ減少した場合、第 1 産業と第 2 産業とでどちらがより大きな（生産削減という）影響を受けるか、判断しなさい。最終需要ベクトルの変化 (−1, −1) を考えること。

［ヒント］ ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )^{−1} = \frac{1}{ad − bc} ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} )

［第 6 回レポート］ 試験日 (7/31) 夕に教務課前にて問題用紙を配布します。成績に算入します。 2 年生については別の定めをしました。

* この試験の解説・略解については、 8/3 ころ http://www5.ocn.ne.jp/˜ qmss/ にアクセスして下さい。