レポート一覧1 マルサスの人口論のシステムを一般的な数式で表現してみなさい。必要な定数（パラメータ）については自分で記号（例えば a, b, c,・・・など）を用いること。また、その記号の意味を書くこと。つぎに、それらのパラメータに数値をあたえ、人口が食物生産を超える時期 n* を求める方程式を書きなさい。それを解く必要はないが、全体の様子を説明する図を添えること。
例：生活資料（食料） = 100＋2n, 人口 = 20 (1.1)^n。 後者が前者を超えるのは方程式 100＋2n = 20 (1.1)^n の解以後。
2 i) X 銀行では、金利 2.5％および 3％の 2
種類のローンを売出している。1500
万円のローンを、それぞれ返済期間（m）
5 年、10 年、15 年、20 年、25 年、30 年
で割賦返済するための一年間の支払額（B）を表にして顧客に見せたい。2
通りの金利ごとに B の表を作りなさい。[本問、自習で可能]
ii) 5 年で返済の場合、1, 2, 3, 4
年目の残債を金利ごとに求めなさい。
i) p.161 の公式 (1.9) そのまま。
ii) (1.8) で a0 = 1500, i = 0.025, 0.03, B = 322.9, 327.5万円（それぞれ）の場合となる。
3 差分方程式 (2.1) の d) を一般の n に対し解きなさい。初期条件は a0 = 3, a1 = 0 とする。つぎに n = 1, 5, 10 に対して解 an を求めなさい。
特性方程式の 2 解はα = -1/2, 1 で、一般解は c1・(-1/2)^n + c2。初期条件から c1 = 2, c2 = 1 と決まる。n = 1, 5, 10 に対しては 0, 0.9375, 1.001953125。
4 成長の微分方程式
i) dx/dt = 3x （指数成長）,
ii) dx/dt = −x （指数減衰）,
iii) dx/dt = 3x−x2 (ロジスティック成長)
を、初期条件 x (0) = 2 で解きなさい。x(1), x(2)
などの値を求め、その形を書きなさい。概略の形でよい。ただし
e = 2.72 とする。
x(t) = 2exp(3t), x(t) = 2exp(-t), x(t) = 3/(1+(1/2) exp(-3t))
5 2 国の「リチャードソンの軍備モデル」（3.3）を学び、それを要約して、その安定条件（p.180）の証明、およびそれが意味する所をのべなさい。また、この軍備システムが
i) 不安定になるケース、ii) 安定であるが安定点の周りに周期変動が生じるケース
を、それぞれ 1
例ずつ連立微分方程式（定数項を含むこと）で表現しなさい。
αβ< kl ととれば一解（固有値）は正で、不安定。k, l は絶対値を十分大きく負ととる（均衡点は正）。
後者としては、α = 2, β = 1, k = 1, l = -1（テキスト）の場合で、固有値は虚、その実数部は -3/2 で負。
6 「ロトカ・ヴォルテラの捕食者-被食者モデル」（1.22）,(1.22')
の図示（図5.5a）において、曲線部分のおのおの
i) 右上, ii) 左上, iii) 左下, iv) 右下
の各局面で起こっていることがら（現象ないしは状況）を説明しなさい。捕食者、被食者は「オオカミ」「ヤギ」で代表してよい。
右上：オオカミがヤギを捕食する、左上：ヤギが僅少となりオオカも減少、
左下：オオカミが僅少のためヤギが繁殖、右下：ヤギが増加したためオオカミも増加
7* 「リー・ヨークのカオス」(5.1)
で、初期値のわずかに異なる 2 つのケース
0.5, 0.50001,
について、an の値は n
が大きいときどのように異なるか（あるいはそうでないか）、
r = 2.5, 2.9, 3.0, 3.57
の 4 通りについて定性的に[ことばで。解かなくてよい]論じなさい。このことの意味は何か。(optional)
[ヒント] 倍周期分岐、ファイゲンバウム定数、SDIC
前 4 者では結局同じ挙動になるが、r = 3.57 では挙動がまったく異なり、初期条件に強く依存する（はず）。[r がファイゲンバウム定数 3.569446・・・に非常に近いため、実際は理論どおりの観察にならなかったようです。ｒ = 3.9 で試すとハッキリする。 ]