2001年度 計量社会科学
第5回レポート(計画と政策)

略解


1 (連立微分方程式、固有値、安定性;本問前章関連)
連立微分方程式
     dx/dt =−4x+5y
     dy/dt =−3x+2y
の解を求めなさい。またその安定性につき論じなさい。

[ ヒント] 固有値問題となり(p.181, 2)、それが複素数ならば それを(2.43)と同様に変形すると、安定条件(p.182-3)となる。

固有方程式を解くと、固有値はα = -1 ± √6 i。実数部 -1 < 0 より安定。固有ベクトルは(5, 3 + √6 i), (5, 3 - √6 i)。これを入れて、線形結合の係数を適当に整理すれば
    x(t) = exp (- t) [5 c1 cos √6 t + 5 c2 sin √6 t]
    y(t) = exp (- t) [(3 c1 + √6 i c2) cos √6 t + (√6 i c1 + 3 c2) sin √6 t]

2 (線形計画法)
  i) 次の線形計画法を解きなさい。
  ii) 各制約のシャドウ価格を求めなさい。
  iii) その双対問題を解きなさい。
       制約条件
          2x+3y≦12
          3x+ y≦11
          x≧0,y≧0
       のもとで
          Z=8x+5y
       を最大化せよ。

[ ヒント] 意味は p.210,解は図 6.1,シャドウ価格、双対問題は p.212。

(x,y) = (3,2), Z = 34。各制約資源のシャドウ価格は(1, 2)。

3* (2 の一般化。制約付き最適化)
ラグランジュの未定乗数法により関数
     f (x, y) = x2y
を、制約条件
     x2 + y2 = 1
のもとで最大化しなさい。(文科はoptional)

[ ヒント ] p.215 に方法がある。添字 x, y は偏微分。(1.17),(1.18) を基にして展開しなさい。G (x, y) = x2 + y2 - 1

型どおり。ラグランジュ関数を定義、偏微分して x = ±√2 |λ|, y = λを得る。制約条件に代入してラグランジュ乗数λ = ±1 / √3。x = ±√(2/3), y = ±1 / √3 で、max f = (2/3) / √3

4 (産業連関)
二財の生産量 x, y  について(c1, c2 は最終需要)
     0.75x− 0.4y =c1
     -0.14x+0.88y =c2
が成立するとき、テキスト p.217 の以下の命題を証明しなさい:

この経済では、家計からのどのような量の最終需要(c1, c2)に対しても対応する(2 生産物の)適切な生産量(x, y)が必ず 1 組存在する。

   [ヒント] c1, c2 >0 ; x>0, y>0 に注意、グラフで解く。

第 1 式の x 切片 > 0, 第 2 式の y 切片 > 0。次に、傾きはともに正かつ第 1 式の方が大。図に書けば明らかに、交点が第 1 象限に必ず 1 点存在。
別解:逆行列に表すと、行列式 > 0 から、ただちに従う。産業連関分析の「レオンチェフ逆行列」もこのタイプとなる。=> p.221

5 計量社会科学特別講義について報告して下さい。
  i) 授業としては、講義でしたが、「講演」を聴いたとの想定で、書いて下さい。
  ii) 含むべき事項: 講演内容の要約(2, 3 割)、特に関心を引いた部分(5 割)
              批評(賛否、批判、補論など)
      【例】 環境省の位置づけと権力・権限、課の数、外務省の地位、政策過程の流れなど。
  iii) 字数の制限はありません。
  iv) 締め切りは出題から 3 週間.。
  v)  レポートとしては、別個表紙を下記のように付けて下さい。

                  計量社会科学特別講演
             「地球温暖化対策と循環型社会の形成」
                 田村泰一氏(文部科学省)

                    聴講報告・批評

                      評者
                     ○○○○


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