2001年度 計量社会科学
第５回レポート（計画と政策）

略解

1　（連立微分方程式、固有値、安定性；本問前章関連）
連立微分方程式
　　　　　dx/dt ＝−4x＋5y
　　　　　dy/dt ＝−3x＋2y
の解を求めなさい。またその安定性につき論じなさい。

［ ヒント］ 固有値問題となり（p.181, 2）、それが複素数ならば それを（2.43）と同様に変形すると、安定条件（p.182-3）となる。

固有方程式を解くと、固有値はα = -1 ± √6 i。実数部 -1 < 0 より安定。固有ベクトルは（5, 3 + √6 i）, （5, 3 - √6 i）。これを入れて、線形結合の係数を適当に整理すれば
　　　　x(t) = exp (- t) [5 c₁ cos √6 t + 5 c₂ sin √6 t]
　　　　y(t) = exp (- t) [(3 c₁ + √6 i c₂) cos √6 t + (√6 i c₁ + 3 c₂) sin √6 t]

2　（線形計画法）
　　i)　次の線形計画法を解きなさい。
　　ii)　各制約のシャドウ価格を求めなさい。
　　iii)　その双対問題を解きなさい。
　　　　　　　制約条件
　　　　　　　　　　2x＋3y≦12
　　　　　　　　　　3x＋ y≦11
　　　　　　　　　　x≧0，y≧0
　　　　　　　のもとで
　　　　　　　　　　Z＝8x＋5y
　　　　　　　を最大化せよ。

［ ヒント］ 意味は p.210，解は図 6.1，シャドウ価格、双対問題は p.212｡

(x,y) = (3,2), Z = 34。各制約資源のシャドウ価格は（1, 2）。

3*　（2 の一般化。制約付き最適化）
ラグランジュの未定乗数法により関数
　　　　　ｆ (x, y) ＝ x²y
を、制約条件
　　　　　x² ＋ y² ＝ 1
のもとで最大化しなさい。（文科はoptional）

［ ヒント ］ p.215 に方法がある。添字 x, y は偏微分。(1.17)，(1.18) を基にして展開しなさい。G (x, y) = x² + y² - 1

型どおり。ラグランジュ関数を定義、偏微分して x = ±√2 ｜λ｜, y = λを得る。制約条件に代入してラグランジュ乗数λ = ±1 / √3。x = ±√(2/3), y = ±1 / √3 で、max f = (2/3) / √3

4　（産業連関）
二財の生産量 x, y  について（c₁, c₂ は最終需要）
　　　　　0.75x− 0.4y ＝c₁
　　　　　-0.14x＋0.88y ＝c₂
が成立するとき、テキスト p.217 の以下の命題を証明しなさい：

この経済では、家計からのどのような量の最終需要（c₁, c₂）に対しても対応する（2 生産物の）適切な生産量（x, y）が必ず 1 組存在する。

　　　［ヒント］ c₁, c₂ ＞0 ； x＞0， y＞0 に注意、グラフで解く。

第 １ 式の x 切片 > 0, 第 2 式の y 切片 > 0。次に、傾きはともに正かつ第 １ 式の方が大。図に書けば明らかに、交点が第 1 象限に必ず 1 点存在。
別解：逆行列に表すと、行列式 > 0 から、ただちに従う。産業連関分析の「レオンチェフ逆行列」もこのタイプとなる。=> p.221

5　計量社会科学特別講義について報告して下さい。
　　i)　授業としては、講義でしたが、「講演」を聴いたとの想定で、書いて下さい。
　　ii)　含むべき事項： 講演内容の要約（2, 3 割）、特に関心を引いた部分（5 割）
　　　　　　　　　　　　　　批評（賛否、批判、補論など）
　　　　　　【例】 環境省の位置づけと権力・権限、課の数、外務省の地位、政策過程の流れなど。
　　iii)　字数の制限はありません。
　　iv)　締め切りは出題から 3 週間.。
　　v)　 レポートとしては、別個表紙を下記のように付けて下さい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　計量社会科学特別講演
　　　　　　　　　　　　　「地球温暖化対策と循環型社会の形成」
　　　　　　　　　　　　　　　　　田村泰一氏(文部科学省)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　聴講報告・批評

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　評者
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　○○○○

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