2003年度 計量社会科学
第5回レポート
微分方程式で社会現象をあらわす

6/30 出題　7/14 提出

7/6　2番の ii) 訂正
7/3　3番 訂正

1　次の一変数の微分方程式を解き、かつグラフを書きなさい。なお、グラフは t＜0 を部分的には含むこと。
　　i) 指数減衰：　dx/dt ＝ 0.3x，　x(0)＝2
　　ii) 指数減衰：　dx/dt ＝ −0.2x，　x(0)＝5 （十分に減衰する t まで表示のこと）
　　iii) ロジスティック成長：　　dx/dt ＝ 0.3x−0.1x²，　x(0)＝1

2　次の差分方程式を解いて、最初の 10 項を求め，かつ n → ∞ の場合の値の様子を調べるため、グラフにあらわしなさい。なお、数値は小数でよい。
　　i) 6a_n+2 ＋ 5a_n+１＋a_n ＝ 0，　a₀ ＝ 2，　a₁ ＝ −5/6
　　ii) 2a_n+2 ＝ a_n+１＋a_n，　a₀ ＝ 2，　a₁ ＝ 1/2　
　　iii) 9a_n+2 ＋ 6a_n+１＋4a_n ＝ 0，　a₀ ＝ 2，　a₁ ＝ (−1＋√3) / 3　　（やや難）

3　次の 2 階常微分方程式は収束する安定解をもつことを示し、その解を非負の t に対しグラフにあらわしなさい。
　　d²x / dt² ＋ dx / dt ＋ x ＝ 0， x(0) ＝ 1， dx(0) / dt ＝ - 1/2
　　　　［ヒント］テキストpp. 176−177

4　フランス・ドイツに対するリチャードソン・システムの一般解を求めなさい。なお、解を求める場合の固有ベクトルは第 1 成分を 1 とする表示を用いることとし、有効数字は 3 桁とする。また指数関数は exp(…) という記号を用いてもよい。

―御苦労様。ここまでできれば文系でも学力は十分―

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